«О некоторых тенденциях развития математики», Игорь Шафаревич

Хотя напрямую к медицине этот, прочитанный несколько десятилетий назад, доклад прямого отношения не имеет, тем не менее мысли, высказанные в нем, имеют более универсальное значение. В том числе отчасти они применимы и к медицине.

Игорь Шафаревич

О некоторых тенденциях развития математики

(Лекция по случаю официального вручения Хейнемановской премии Геттингенской Академии Наук)

Всякое существо склонно воспринимать среду своего обитания как нечто безусловное, что и не может быть другим и что поэтому не порождает никаких вопросов. Так относится и математик к своей науке, - и только изредка, когда представляется повод взглянуть на нее со стороны, он вдруг замечает, с каким странным, в сущности неправдоподобным явлением имел дело всю жизнь. Для меня таким поводом было лестное предложение сказать здесь несколько слов о математике моим коллегам, работающим в далеких от нее областях науки. При поверхностном наблюдении математика представляется плодом трудов многих тысяч мало связанных индивидуальностей, разбросанных по континентам, векам и тысячелетиям. Но внутренняя логика ее развития гораздо больше, напоминает работу одного интеллекта непрерывно и систематически развивающего свою мысль, лишь использующего как средство многообразие человеческих личностей. Как бы в оркестре, исполняющем кем-то написанную симфонию, тема переходит от одного инструмента к другому, и когда один исполнитель вынужден прервать свою партию, ее точно как по нотам, продолжает другой. Поверьте, это не риторическая фигура! История математики знает очень много примеров того, что открытие. сделанное одним ученым, остается неизвестным, а позже с поразительной точностью воспроизводится другим. В письме, написанном ночью перед дуэлью, окончившейся его гибелью, Галуа высказал несколько утверждений исключительной важности об интегралах алгебраических функций. Более чем двадцать лет спустя Риман, который, безусловно, не знал о письме Галуа, вновь нашел и доказал в точности те же утверждения. Или: после того как Лобачевский и Болиаи независимо друг от друга положили начало неевклидовой геометрии, выяснилось, что два человека - Гаусс и Швейкарт более чем за 10 лет до этого тоже независимо друг от друга пришли к тем же результатам. Странное чувство испытываешь, видя одни и те же чертежи, как будто начерченные одной рукой в трудах четырех ученых, работавших совершенно независимо друг от друга. Невольно приходишь к мысли, что такая поразительная, загадочная деятельность человечества, длящаяся несколько тысячелетий, не может быть случайной, должна иметь какую-то цель. А признав это, мы с необходимостью приходим к вопросу: в ч е м с о с т о и т э т а ц е л ь? Как может целая наука - не один только ее раздел и не в один лишь период ее развития - иметь единую цель? Попробуем усмотреть это на примере физики, которая всегда была так тесно связана с математикой. Ко времени Ньютона перед физикой вырисовалась захватывающая цель: построить теорию (или, как тогда говорили, систему) мира, то есть заключить всю вселенную в несколько простых законов, из которых многообразие физического мира может быть выведено чисто логически. Долгое время казалось, что Ньютон эту задачу в принципе решил, а на долю его последователей осталась лишь проверка того, что все известные явления описываются его системой. Только на периферии физики теория электричества не хотела укладываться в эту схему. Но в XIX в. именно явления электромагнетизма стали центром физики, и хотя этим была поколеблена ньютонианская концепция, зато возникла надежда, что ньютоновская механика, дополненная максвелловской теорией электромагнитного поля, позволит создать полную и окончательную систему мира. Однако и этим ожиданиям не было суждено сбыться, - квантовая механика и теория относительности вскоре разбили все старые концепции. Одно время физиков подогревало стремление извлечь из единой теории поля или из релятивистской квантовой механики полную теорию элементарных частиц и новую систему мира. Этого до сих пор не произошло, и вряд ли многие физики сейчас считают такие надежды реальными. Во всяком случае, если некоторое единство в физической картине мира когда-нибудь и восстановится, трудно будет после стольких перестроек верить в окончательность этой системы. Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что та глобальная цель, которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела. Как же это отражается на ее развитии? Математика растет стремительно и непрерывно, не зная типичных для физики перестроек и кризисов, обогащая нас все новыми идеями и конкретными фактами. Я глубоко убежден, что достижения современной математики не менее совершенны, чем творения классиков XIX, XVIII и XVII вв., что они могут даже выдержать сравнение с плодами эллинского гения. Но ведь и прекраснейшие из современных достижений ни в чем принципиально не превосходят классические! Какова же ценность неограниченного накопления идей, в принципе одинаково глубоких? Не превращается ли математика в поразительно красивый вариант "дурной бесконечности" Гегеля? Любая деятельность, лишенная цели, тем самым теряет и смысл. И если сравнить человечество с живым организмом, то математика окажется непохожей на осмысленную, целенаправленную деятельность. Скорее она аналогична инстинктивным действиям, которые могут стереотипно повторяться, пока работает некий внешний или внутренний возбудитель. Не имея цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям. Используя другое сравнение, можно сказать, что развитие математики не похоже на рост живого организма, который сохраняет свою форму, сам определяя свои границы. Оно больше напоминает рост кристалла или диффузию газа, которые будут распространяться неограниченно, пока не встретятся с внешним препятствием. Очевидно, что такое развитие науки противоречит ощущению осмысленности и красоты, которое непреодолимо возникает при соприкосновении с математикой, - подобно тому, как невозможна бесконечно продолжающаяся прекрасная симфония. Но только ли в нашей науке встает эта проблема? Я не думаю, что математика радикально отличается от других форм культурной деятельности. Однако ее объекты более абстрактны, в ней происходит отвлечение от большего числа случайных свойств. Как говорил Платон, в ней больше от познания чистого бытия и меньше - от мнений о предметах видимого мира, в ней "как бы грезят о сущем". Поэтому в математике ясно различимы закономерности, хотя и универсальные, но лишь смутно видимые в других областях. В частности, то отсутствие целей и формы, о котором мы говорили выше, относится, как мне кажется, почти ко всей жизни современного человечества. Так, наряду с математикой, развивающейся без цели, мы видели пример физики, в погоне за непосильной, видимо, ей целью теряющей представление о какой-либо цели вообще. Бесформенная, лишенная иной цели и смысла, кроме неограниченного расширения, лихорадочная деятельность уже несколько веков как захватила человечество. Она получила название "прогресса" и на некоторое время стала чем-то вроде суррогата религии. Ее последним порождением является современное индустриальное общество. Уже много раз указывалось на то, что эта гонка содержит в себе внутреннее противоречие, приводит к катастрофическим материальным последствиям: все возрастающему, непосильному для человека темпу изменений жизни, перенаселенности, уничтожению окружающей среды. На примере математики я хочу обратить внимание на не менее разрушительные духовные последствия: человеческая деятельность лишается глобальной цели, становится бессмысленной. Опасность здесь не только отрицательная, она заключается не только в том, что напряженные усилия человечества, жизнь его наиболее талантливых представителей не освещаются пониманием их смысла. Она не исчерпывается и тем, что, не понимая цели своих действий, мы не можем предвидеть и их результатов. Духовная конституция человечества не позволяет ему долго мириться с деятельностью, цель и смысл которой ему не даны. И здесь, как и во многих других явлениях, вступает в силу механизм замещения - не найдя того, что им необходимо, люди не успокаиваются на этом, но прибегают к суррогатам. Пример этого нам всем хорошо известен - порвав связь с Богом милосердия и любви, люди тотчас создали себе других богов, требующих миллионов человеческих жертв. Согласно тому же закону, когда культурная деятельность человечества лишена ясного понимания своих целей, она пытается заимствовать себе осмысление из других источников. В частности, математик ищет смысл своей работы в выполнении заказа государства, которому он готов рассчитать траекторию ракеты или подслушивающий аппарат, а если это ученый крупного масштаба, - то спланировать и целое общество, состоящее из гибридов людей и компьютеров. Такая установка уродует не одни только души ученых, - появляются области математики, лишенные той божественной красоты, которая зачаровывает всех, знакомых с нашей наукой. Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика, по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать ее извне. Разумеется, я далек от того, чтобы пытаться указать решение этой глубокой, не только внутриматематической, но и общечеловеческой проблемы. Я хочу лишь указать на основные направления, в которых возможен поиск решения. По-видимому, таких направлений есть два. Во-первых, можно пытаться извлечь цель математики из ее практических приложений. Но трудно поверить, что более высокая - духовная деятельность найдет свое оправдание в более низкой - материальной. В открытом в 1945 г. "Евангелии от Фомы" Иисус иронически говорит: "Если плоть произошла ради духа, это - чудо. Если же дух ради тела, это - чудо из чудес". Вся история математики - убедительное доказательство того, что "чудо из чудес" невозможно. Если мы посмотрим на решающий в развитии математики момент, когда она сделала свой первый и самый значительный для человечества шаг и возникла та основа, на которой она зиждется - логическое доказательство, то увидим, что произошло это на материале, который просто исключал возможность практических приложений. Первые теоремы Фалеса Милетского устанавливали истины, очевидные для каждого здравомыслящего человека - вроде того, что диаметр делит круг на две равные части. Гениальность нужна была не для того, чтобы увериться в справедливости этих положений, а для того, чтобы понять, что они нуждаются в доказательстве. Очевидно, что практическая ценность таких открытий - нулевая. И в наше время, как ни разнообразны и глубоки приложения математики, отнюдь не под их влиянием возникли ее самые прекрасные достижения. Как же можно тогда ожидать, что приложения математики дадут ей эту цель, которую она не смогла найти своими внутренними силами? Если мы, таким образом, отбросим этот путь, то останется, как мне кажется, только одна возможность: цель математике может дать не низшая сравнительно с ней, а высшая сфера человеческой деятельности - религия. Конечно, сейчас очень трудно представить себе, как это может произойти. Но еще труднее вообразить, как математика сможет вечно развиваться, не зная, ни что, ни зачем она изучает. Да уже в следующем поколении она погибнет, захлестнутая потопом публикаций. А ведь это еще самая элементарная, внешняя причина. С другой стороны, в принципе такое решение возможно - это доказано историей. Обратившись опять к той эпохе, когда математика только возникла, мы увидим, что тогда она знала свою цель и получила она ее именно на этом пути. Математика сложилась как наука в VI в. до Р. X. в религиозном союзе пифагорейцев и была частью их религии. Она имела ясную цель - это был путь слияния с божеством через постижение гармонии мира, выраженной в гармонии чисел. Именно эта высокая цель дала тогда силы, необходимые для научного подвига, которому принципиально не может быть равного: не открытия прекрасной теоремы, не создания нового раздела математики, но создания самой математики. Тогда, почти в самый момент ее рождения, уже обнаружились те свойства математики, благодаря которым в ней яснее, чем где-либо, проявляются общечеловеческие тенденции. Именно поэтому тогда математика послужила моделью, на которой были выработаны основные принципы дедуктивной науки. Кончая, я хочу выразить надежду, что по той же причине она теперь может послужить моделью для решения основной проблемы нашей эпохи: ОБРЕСТИ ВЫСШУЮ РЕЛИГИОЗНУЮ ЦЕЛЬ И СМЫСЛ КУЛЬТУРНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА.

Впервые опубликовано в журнале "Jahrbuch der Akademie der Wissenschaften in Gettingem, Gettingen, 1973.

ИНТЕРЕСНАЯ ЦИТАТА

"Если ты из тех, кто считает, что современное искусство превзошло искусство Вермеера и Рафаэля, не берись за эту книгу и пребывай в блаженном идиотизме."

Сальвадор Дали

Думается, что отчасти этот смысл приложим к практической медицине (при всем моем крайнем скепсисе в отношении творчества Дали). Техническая стандартизация и специализация скорее отняли долю искусства из медицины, чем добавили ее.

КРЫЛАТЫЕ ЛАТИНСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ-2

Их, конечно, очень много. Я публикую наиболее примечательные, с моей точки зрения.

Audi multa, loquere pauca. - Слушай много, говори мало.

De se ipso modifice, de aliis honorifice. - О себе самом - соблюдая меру, о других - с почтением.

Favete linguis. - Храните молчание (дословно "Благоприятствуйте языками")

Minarum strepitus, asinorum crepitus. - Шум угроз - что рычанье ослов.

Multum legendum est, non multa. - Следует читать много, но не многое.

Nimia familiaritas facit contemptum. - Излишняя фамильярность приводит к пренебрежению.

Nimium civiles viles. - Слишком вежливые (обычно) ничтожны.

МЕДИЦИНСКИЕ РИСУНКИ

Автор некто Bryan Christie:

http://www.bryanchristiedesign.com/portfolio.php

Далее:

http://www.michaela-smith.com/page4.htm

АЛЛЕГОРИЯ МЕДИЦИНЫ ИЛИ ПРОДУКТИВНЫЙ НАСТРОЙ ДЛЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ МЕДИЦИНСКИХ УСЛУГ.

Предисловие.
Года два назад мне предложили вести популярную медицинскую колонку в новом журнале. В связи с этим я написал маленькую историю, которая так и не была напечатана. Хотя она ориентирована на читателя без специальных медицинских знаний, в сущности, юмор в ней скорее профессиональный, посему, может быть рекомендована и медику. Хотя в сети эта история опубликована, я считаю себя в праве воспроизвести ее здесь. Вот она:
Собственно, практически любая наша деятельность не принесет должного результата, если не соблюдаются определенные базовые принципы. Нельзя написать маслом шедевр, пока не поймешь, как смешивать краски и как их наносить на холст. Если не пользоваться грузиком на веревочке (отвес), то кирпичная кладка пойдет криво. Если правильно не нарезать мясо, то отбивные не получатся. И так далее. Эти правила подчас выглядят банально, но странное дело, их все таки многие или не знают, или знать не хотят, или игнорируют, словом, почему-то не соблюдают, и все идет с самого начала не так, как надо.
Болеть – процесс пассивный, а вот лечиться – активная деятельность, направленная на результат. Кстати, в той же мере, что и лечить. Чтобы упростить понимание процесса, я придумал его фантастический образ. Кто-то, возможно, скажет, что образ странный. Возможно. Медицина – необычный род деятельности.
Так вот. Некто поселился на поле, построил дом, вскопал огород. Это пациент. Он спокойно живет, работает, пользуется плодами своего труда, ложится и встает, словом, наслаждается благополучием. Это благополучие – здоровье. И тут вдруг ночью он был разбужен угрожающим странным звуком. Он не выспался, остаток ночи ворочался и с тревогой размышлял, что бы это такое могло быть. А утром отправился к соседу. Тот был старше, покрыт сединой, шрамами, что говорило о житейском опыте и вызывало доверие. И вот этот сосед сказал, что это был тигр. Тигр – это опасная болезнь, которой он болел когда то, откуда и шрамы. Если бы вовремя не подоспел особый специалист, который назывался тигрологом, то не выжил бы. Телефон тигролога сохранился, и специалиста пригласили. Тигролог воспользовался особым хитрым и дорогим прибором (он сказал, что прибор сделан в далекой стране, где солнце восходит). При наведении прибора в сторону, откуда раздавалось рычание, прибор подумал недолго, потом напечатал отчет на две страницы. Там было много непонятного, но тигролог пояснил, что прибор идентифицировал опасную болезнь под названием бенгальский тигр, весом 542,5 килограмма, который дремлет в тени на расстоянии 347 метров и через полчаса проголодается. Но тут же успокоил, поскольку болезнь бенгальский тигр уже радикально уничтожена особым невидимым лучом прибора, который сделали в далекой стране, так что бояться нечего. Напоследок тигролог выписал особый сертификат, где значилось, что пациент целый день посвятил борьбе с тигром (лечению), так что ему из особого фонда полагается компенсация в виде двух килограмм картофеля, который он не смог выкопать в этот день. Это больничный лист.
Так представляют себе процесс лечения многие. Очень просто. Пациент спросил мнение соседа и обратился к узкому специалисту. Дальше можно уже ни о чем не думать. Но представление это совершенно неправильное. Почему?
Да потому, что следующей ночью страшный звук повторился. И еще громче, чем был. Пациент впал в ужас и отчаяние. Ошибка тигролога? Еще один тигр? Устойчивый к лучам вид тигра? А может вообще не тигр? Что делать? И почему я не могу заснуть? Лучше не спать, а то случится что-нибудь.
На следующий день пациент через интернет узнал про тигрологический институт и вызвал другого специалиста. То же тигролога. Этот был постарше, с сединой. Он взял особую трубку, узкую с одной стороны, широкую с другой, узким концом засунул себе в ухо и долго вслушивался. И сказал, что хотя страшный звук не повторялся, но он слышал урчание чрева куда большего, чем у тигра. Это слон, наверное. Слоны ревут хоботом иногда, это и мог быть тот звук. А рядом с тиграми слоны не ходят. Значит, тигра бояться нечего. Написал направление к слонологу, дал успокоительного и уехал.
Ночь прошла беспокойно. Если слоны так велики, то …
Когда приехал слонолог, был туман. Слонолог долго всматривался в подзорную трубу и держал нос по ветру, часто внюхиваясь. Наконец сказал, что, не смотря на туман, смотрел он достаточно долго, у него труба с цейсовской оптикой, а хобота он не видел. Кроме того, слоны такой вони не выдерживают. Указал, с какой стороны запах. Так что это наверняка не слон, заключил он. Напоследок описал в подробностях слона, показал картинки и посоветовал повторную консультацию, если слон все же появится. И уехал.
Сон пропал совсем. Но бдение принесло свой плод. Пациент понял, что появилась зацепка: неприятный запах.
На следующий день он сдал образцы воздуха в лабораторию. Вечером в заключении лаборатории значилось, что в воздухе было много сероводорода. Пациент много прочел про сероводород. В интернете. При этом почему то купил дорогой автоматический освежитель воздуха, о котором прочитал на мигающем баннере.
Ночью пациент понял, что освежитель воздуха сон не улучшил и проблема не решена. Это еще больше ухудшило самочувствие, за освежитель было заплачено одна тысяча денег.
Утром в интернете пациент прочел, что независимо от слышимых звуков, сероводород привлекает паразитов. Слово паразит звучало угрожающе. В поисковую строку было с надеждой введено "паразитолог".
Приехал паразитолог. Запах ему не понравился. Хотя внюхивался он не долго, и вообще не вслушивался и не всматривался. Зато долго рассказывал про паразитов, показывал картинки, таблицы и графики. Прикинул предполагаемый ущерб для огорода и риск для здоровья. Расписал программу профилактики. Нужно было огородиться колючей проволокой, засыпать все дустом, мыть руки антибактериальным мылом и закапывать в нос раствор формалина 3 раза в день. И уехал. Дуст с формалином удалось купить в тот же день. И использовать то же.
Ночью тошнило. И не спалось.
Шли дни. Все куда-то исчезло, и мир сжался в странный комок, темный такой, откуда доносился странный звук, чувствовалась опасность и неприятный запах. Страх, бессонница, отчаяние.
Однажды мимо проходил местный старый охотник. Он увидел изможденного пациента и подошел к нему. Он стал спрашивать. Он скоро понял, что пациента рвет от формалина и дуста. И посоветовал выбросить антибактериальное мыло, а пользоваться обычным. Они говорили много. Оказалось, что вначале всего был странный звук. Старый охотник долго спрашивал про звук, как часто он повторялся, при каких обстоятельствах, всегда ли с одной стороны, с какой стороны. Странно, зачем это все ему? Так подумалось пациенту. Потом охотник довольно долго бродил вокруг, смотрел, слушал и щупал. Заметил, что пациент удобрял огород хорошим навозом (запах замечательный!) и спросил, где брал и почем. А потом сказал: "Знаете, это, похоже, скрипит вот этот старый дуб, когда ветер дует". Они подождали, когда задует ветер. Ветер подул и пациент выздоровел.
Скажу сразу, что пациенту повезло. Он не успел умереть от дуста и не полез в петлю. Такое то же бывает. Время подводить итоги.
1.Ощутив недомогание, если его причина не очевидна (перелом, к примеру), обращаться нужно вначале к старому охотнику. В отечественной системе здравоохранения это терапевт или врач общей практики. Он либо поможет сам, либо укажет наиболее рациональный путь решения проблемы. К примеру, направит к узкому специалисту. Тот, кто ходит напрямик, дома не ночует. Это о тех, кто ходит за советом к соседу или сам себя обследует.
2.Часто бывает так. Приходит пациент в лечебное учреждение и просит сделать ему кардиограмму. Оказывается, он это решил сделать, потому, что сердце болит. Делают. "Нормально?" "Нормально!" Уходит. Грубая ошибка. Причина боли не ясна. Не каждый раз опасная болезнь сердца проявляется на кардиограмме. Не надо думать, что такое сделать: рентген, томографию или анализ мочи. Надо идти к врачу, а он назначит необходимое обследование, если сочтет нужным. Многие болезни надежно и точно выявляются вообще без анализов и аппаратуры.
3.В большинстве случаев лечение – активный процесс и со стороны врача, и со стороны пациента. Они сотрудничают. Медицина не всесильна. Поле зрения врача ограничено, болезни до конца не изучены, все методы лечения эффективны не на 100% и в своей мере опасны (хотя используют только те методы, которые значительно менее опасны, чем болезнь), а иногда помочь вообще невозможно. Гарантий нет и быть не может. По сути, врач имеет дело с неопределенностями и вероятностями. Значит и пациент то же. В идеале, врач и пациент уважают друг друга, доверяют друг другу, откровенны друг с другом. Недоверие, прессинг, неуважение (с обеих сторон) затрудняют процесс лечения и в действительности снижают вероятность позитивного исхода. Ответственность за исход лечения делится между врачом и пациентом. Если пациент думает, что пришел к врачу и можно ни о чем не думать, то он ошибается. Все только началось. Надо слушать, спрашивать, думать, принимать решения.
4.Надо помнить, что организм человека имеет чудесное свойство чинить себя. Т. е. многие болезни проходят сами, даже если не лечиться совсем. Тут важнее не мешать, соблюдать щадящий режим, наблюдать. К примеру, простуда. Или даже грипп. Лекарства могут помешать. Поэтому если врач выписал лекарств мало, или вообще не выписал, то неправильно требовать от него "Пишите рецепт!" Лучше тактично так спросить: "А почему, собственно?" Или: "Доктор, а что, если…?" Ну и услышать: "Да я не назначу это даже собаке!" (шутка).
5.Не следует думать, что здоровье прямо зависит от размера вложенных в него инвестиций. И не надо слушать рекламу лекарственных средств. Во-первых, потому, что эффективное средство лечения в рекламе не нуждается, о нем пишут в специальных книгах и серьезных журналах. Во-вторых, к сожалению, производители лекарств делают рекламу так, что интерес к их товару вызывается даже у здоровых, которым рекламируемое средство не нужно и даже может быть вредно. К примеру, здоровый человек даже после обильного застолья не нуждается в приеме дополнительных пищеварительных ферментов. А снижение температуры тела при простуде хоть и приводит к ощущению комфорта, но может удлинить болезнь и вызвать серьезные побочные эффекты. Не тратьте лишние деньги и не ешьте лишнюю химию.
6.И последнее. Смотрите внимательно. Наш пациент страдал не от реальной болезни. Он страдал от страха. В действительности, болезнь есть испытание, экзамен на пути человека. И его надо сдать. И поправиться – это далеко не все. Надо быть человеком. Я помню женщину, у которой был рак легких. Она знала, что умирает. Помню тихую печальную улыбку у нее на лице, с которой она встречала и прощалась, когда обход заканчивался. И помню крупного мужчину, который долго умирал от сердечной болезни. Собственно, его судьба не была так четко определена, мог и выжить. Но страх поглотил его всего. Он мешал поправиться, он мешал описать врачу свои страдания, он мешал осознать происходящее, он мучил. Поистине, адские муки. Думаю, пациентка сдала экзамен, а вот пациент нет. На что же этот экзамен? На веру, смирение и силу. Апостол Павел писал: "когда я немощен, тогда я силен" (2-е к коринфянам 12:10). Хотя в момент болезни испытание проходят и больной, и его близкие, и его врач. Каждый по-своему.
P.S. Прошло года 2, перечитал. Все выводы логичны. Одно но. Любая система дает сбои и ломается. Старого охотника можно не найти. Старый охотник то же ошибается, и не раз. Часто мы становимся перед лицом неизбежной ошибки. Это предстояние всегда тяжелое. Это то же экзамен для нас.

КРЫЛАТЫЕ ЛАТИНСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Alia commitenda, alia celanda. – Об одном следует говорить, о другом – молчать.

Ut amaris, amabilis esto. – Чтобы тебя любили, будь достоин любви.

Turpe senilis amor. – Жалок влюбленный старик.

Cave canem. – Берегись собаки. (надпись на воротах одного из домов в Помпеях, найденная при раскопках).

Amici fures temporis. – Друзья – воры времени.

Amicum laedere ne ioco quidem licet. – Друга нельзя обижать даже в шутку.

Secrete amicos admone, lauda palam. – Порицай друзей наедине, а хвали публично.